ARITMETICA
9) SUI QUADRATI DEI NUMERI INTERI

Esiste una correlazione tra i quadrati in successione e i numeri dispari, la quale è la seguente: partendo da 0, tutti i quadrati successivi si ottengono, aggiungendo ad esso i vari numeri dispari in successione.
Il quadrato di un numero n è uguale alla somma dei primi n numeri dispari. Ossia:

3² = 1+3+5=9;

5² = 1+3+5+7+9=25;

9² = 1+3+5+7+9+11+13+15+17=81.

Se bisogna trovare i quadrati di più numeri consecutivi, basta aggiungere ogni volta al quadrato precedente la loro somma, come qui appresso.
Volendo trovare i quadrati dei numeri da 1 a 10, abbiamo:

1² = 1;
2² =1 + 3 (2 + 1) = 4;
3² = 4 + 5 (2 + 3) = 9;
4² = 9 + 7 (3 + 4) = 16;
5² = 16 + 9 (4 + 5) = 25; ecc.

- Conoscendosi n e il suo quadrato, è semplice conoscere qual è stato il numero dispari più grande della serie di numeri dispari, la cui somma ha dato luogo al quadrato. Infatti, esso si ottiene, moltiplicando n per 2 e sottraendo al prodotto 1.

Se sappiamo che il quadrato di 40 è 1600, sappiamo anche che è stata la somma dei primi 40 numeri dispari a dar luogo a 1600, il più grande dei quali è stato: 40 x 2 - 1 = 79. Per cui, se volessimo trovare il quadrato di 41, basterebbe aggiungere a 1600 il successivo numero dispari, che è 81, (1600 + 81 = 1681). Se invece volessimo trovare il quadrato di 39, basterebbe sottrarre da 1600 il numero dispari più grande, che è 79, (1600 - 79 = 1521).

- Da ciò possiamo dedurre che, tutte le volte che dobbiamo trovare il quadrato dei numeri come 51 e 49, ci conviene trovare prima il quadrato di 50 (2500). Dopo aggiungiamo 101 (2601) per trovare il quadrato di 51 o sottraiamo 99 (2401) per trovare il quadrato di 49.

- Se vogliamo trovare i quadrati di tutti i numeri dispari, a partire dal quadrato 1, basta aggiungere ad esso di seguito 8 e i suoi multipli, come appresso:

1² + 8 = 9 (quadrato di 3) + 16 = 25 (quadrato di 5) + 24 = 49 (quadrato di 7) + 32 = 81 (quadrato di 9) + 40 = 121 (quadrato di 11) + 48 = 169 (quadrato di 13); ecc.

- Se vogliamo trovare i quadrati di tutti i numeri pari, a partire dal quadrato di 2, ossia 4, basta aggiungere ad esso di seguito 8 e i suoi multipli aumentati di 4, come appresso:

4 (quadrato di 2) + 12 (8 + 4) = 16 (quadrato di 4) + 20 (16 + 4) = 36 (quadrato di 6) + 28 (24 + 4) = 64 (quadrato di 8) + 36 (32 + 4) = 100 (quadrato di 10) + 44 (40 + 4) = 144 (quadrato di 12) + 52 (48 + 4) = 196 (quadrato di 14); ecc.

b) Esiste anche una formula per trovare il quadrato di un numero di due cifre, alla quale, senza eseguire la moltiplicazione, possiamo ricorrere, tutte le volte che troviamo la convenienza.
Se a e b sono rispettivamente le decine e le unità del numero, abbiamo la seguente formula aritmetica:

n² = a² + 2ab + b²

Così, dovendo trovare il quadrato di 56, applicando la formula, avremo:

56² =(50² = 2500) + (50 x 6 x 2 = 600) + (6² = 36) = 2500 + 600 + 36 = 3136

Esiste anche una formula per trovare il quadrato di un numero di tre cifre, alla quale, senza eseguire la moltiplicazione, possiamo ricorrere, tutte le volte che troviamo la convenienza.

Se a, b e c sono rispettivamente le centinaia, le decine e le unità del numero, abbiamo la seguente formula aritmetica:

n² = (a²) + (2ab) + (2ac) + (b²) + (2bc) + c²

Così, dovendo trovare il quadrato di 125, applicando la formula, avremo:

125² = (100² = 10000) + (100 x 20 x 2 = 4000); + (100 x 5 x 2 = 1000) + (20² = 400) + (20 x 5 x 2 = 200) + (5² = 25) = 10.000 + 4000 + 1000 + 400 + 200 + 25 = 15.625

c) Se si conoscono il prodotto di due numeri ab (a il maggiore e b il minore), i loro quadrati a² e b², la loro differenza (a-b) oppure la loro somma (a+b), si hanno come formule:

- la loro somma à data dalla differenza dei loro quadrati diviso la loro differenza: a + b = (a² - b²) : (a-b);

- la loro differenza è data dalla differenza dei loro quadrati diviso la loro somma: a - b = (a² - b²) : (a + b);

- il numero maggiore à dato dalla differenza tra il suo quadrato e il loro prodotto diviso la loro differenza: a = a² - ab : (a - b);

- il numero minore è dato dalla differenza tra il loro prodotto e il suo quadrato diviso la loro differenza: b = ab - b² : (a - b).
In pratica, avremo:

Se il prodotto dei due numeri consecutivi a e b è 12 e i loro rispettivi quadrati sono 16 e 9, nonché si conosce la loro differenza 1 oppure la loro somma 7, applicando le formule, avremo:

a + b = (a² - b²) : (a - b) = (16 - 9) : 1 = 7 : 1 = 7;
a b = (a² - b²) : (a - b) = (16 - 9) : 7 = 7 : 7 = 1;
a = a² - ab : (a - b) = 16 - 12 = 4;
b = ab - b² : (a - b) = (12 - 9) : 1 = 3 : 1 = 3

Inoltre, il prodotto dei due numeri è medio proporzionale tra i due quadrati: a² : ab = ab : b².
Perciò avremo:16 : 12 = 12 : 9.

Se la differenza fra due numeri consecutivi è sempre 1, la differenza fra i loro quadrati è la loro somma. Prendendo ad esempio la coppia di numeri 6 e 5, la loro differenza è 1 (6 - 5 = 1); mentre la differenza dei loro quadrati è 11 (6 + 5 = 11). Infatti, 36 - 25 = 11.