ARITMETICA
8) DAI MULTIPLI DEL 6 AI NUMERI PRIMI

a) Un numero primo risulta sempre un multiplo di 6, a cui è stata aggiunta o sottratta l'unità. Esso può (ma non obbligatoriamente) derivare dalla sottrazione o dall'aggiunta dell'unità, oppure da entrambe le operazioni. In quest'ultimo caso, i due numeri primi ottenuti sono detti gemelli. Ne deriva che un numero dispari, che non termina con 5, può essere primo, se risulta un multiplo di 6, dopo aver aggiunto o sottratto ad esso l'unità, oppure in entrambi i casi.

Ad esempio, se prendiamo 24, che è un multiplo di 6, esso ci dà un numero primo, solo se sottraiamo ad esso l'unità, ottenendo 23. Se invece aggiungiamo ad esso l'unità, otteniamo il numero composto 25.

Se prendiamo 18, che è anche un multiplo di 6, aggiungendo e sottraendo ad esso l'unità, otteniamo rispettivamente i due numeri primi 17 e 19, che sono detti gemelli. Infatti, due numeri primi aventi per differenza 2 prendono il nome di gemelli.

I multipli del 6, nei loro rapporti con i numeri primi, risultano di quattro tipi:

1) Multipli che non danno alcun numero primo, sia che si aggiunga ad essi l'unità sia che si sottragga dagli stessi l'unità:

120-1=119; 120+1=121. (119 e 121 non sono numeri primi).

2) Multipli che danno un numero primo, solo se si aggiunge ad essi l'unità:

36+1=37 (37 è numero primo).

3) Multipli che danno un numero primo, solo se si sottrae ad essi l'unità:

54-1=53 (53 è numero primo).

4) Multipli che danno un numero primo, sia che si aggiunga sia che si sottragga ad essi l'unità:

132+1=133; 132-1=131 (133 e 131 sono entrambi numeri primi)

Ci sono pure tre tipi di coppie di numeri primi gemelli:

1) Coppie, nelle quali il numero primo minore termina con 1 e il maggiore termina con 3, come le seguenti:

11-13; 41-43; 71-73; 101-103; 191-193; 281-283.

2) Coppie, nelle quali il numero primo minore termina con 7 e il maggiore termina con 9, come le seguenti:

17-19; 107-109; 137-139; 197-199; 227-229; 347-349.

3) Coppie, nelle quali il numero primo minore termina con 9 e il maggiore termina con 1, come le seguenti:

29-31; 59-61; 149-151; 239-241; 269-271; 599-601.

Risulta divisibile per 6 anche la somma di due numeri primi ottenuti l'uno con +1 e l'altro con -1.

73 (72+1) + 107 (108-1) = 180 (divisibile per 6).

Se due numeri primi sono stati ottenuti entrambi con +1, sottraendo alla loro somma due unità, si ottiene un numero divisibile per 6.

151 (150+1) + 277 (276+1) = 428 - 2 = 426 (divisibile per 6).

Se due numeri primi sono stati ottenuti entrambi con -1, aggiungendo alla loro somma due unità, si ottiene un numero divisibile per 6.

269 (270-1) + 605 (606-1) = 874 + 2 = 876 (divisibile per 6)

b) Se un quadrato è divisibile solo per sé stesso e per la sua radice, quest'ultima è un numero primo.
49 è divisibile solo per sé stesso e per 7, che è la sua radice. Per cui 7 è un numero primo.
Allora è vero anche che il quadrato di un numero primo è il suo primo multiplo avente come fattori la sua radice.
Il quadrato di 7 è 49, i cui fattori sono 7x7.

c) Se dividiamo un numero primo per 6, avremo come resto 1 oppure 5, a seconda se è stata aggiunta oppure tolta l'unità.
31 : 6 = 5 col resto di 1 (Infatti al multiplo 30 è stata sommata l'unità, facendolo diventare 31, che è un numero primo).
29 : 6 = 4 col resto di 5 (Infatti, al multiplo 30 è stata sottratta l'unità, facendolo diventare 29, che è un numero primo).

d) Un numero primo è anche la somma di un multiplo di 6 più un numero primo più piccolo di quello che si vuole ottenere. Quando il multiplo di 6 termina con 0, ad esso non si può sommare il numero primo 5, poiché ne verrebbe fuori un multiplo di 5. A volte lo stesso multiplo di 6, con i vari numeri primi aggiunti, dà luogo ad altrettanti numeri primi. Come pure due addendi diversi, sommati, possono dare lo stesso numero primo.

6 + 11 = 17 (11 e 17 sono numeri primi);
12 + 5 = 17 (5 e 17 sono numeri primi);
6 + 23 = 29 (23 e 29 sono numeri primi);
12 + 19 = 31 (19 e 31 sono numeri primi);
18 + 19 = 37 (19 e 37 sono numeri primi);
42 + 59 = 101 (59 e 101 sono numeri primi); ecc…

e) Se si vuole sapere quale multiplo di 6 ha dato origine al numero primo, bisogna prima renderlo multiplo di 6 (aggiungendo o sottraendo ad esso l'unità), come di seguito:

Se abbiamo il numero primo 56443 e vogliamo conoscere il multiplo di 6 che gli ha dato origine, prima eseguiamo le due operazioni e sommiamo le cifre dei due risultati [56443+1=56444 (23)], [56443-1=56442 (21)]. Essendo 21 divisibile per 3, 56442 risulta divisibile per 6. Per cui il multiplo di 6 che ha dato origine al numero primo 56443 è 56442.
Nel caso di due numeri primi gemelli, come 34757 e 34759, il multiplo di 6, che ha dato origine ad entrambi, è il loro numero intermedio, ossia 34758.

Se la somma di due numeri primi è divisibile per 6, l'uno è stato ottenuto da un multiplo di 6 a cui è stata tolta l'unità e l'altro è stato ottenuto da un multiplo di 6 a cui è stata aggiunta l'unità, come nei seguenti:

317 + 643 = 960 : 6 = 160 (318-1 = 317 / 642+1 = 643)

Nei numeri primi gemelli avviene la stessa cosa. Essi però sono stati ottenuti dallo stesso multiplo di 6.

f) Ogni numero primo ha infiniti multipli, i quali si possono dividere in due gruppi: a) quelli ottenuti dal suo prodotto con numeri non primi, come 9, 10, 12, che sono infiniti; b) quelli ottenuti dal suo prodotto con numeri primi, come 11, 13, 17, che sono pure infiniti. Questo secondo gruppo dà origine a dei prodotti aventi per fattori due numeri primi. Così 91, che è un multiplo di 7, ha per fattori 7 e 13. Un multiplo di questo tipo possiamo considerarlo multiplo bifattoriale primo; invece 12, che è un multiplo di 3 ed ha per fattori 3 e 4, è da considerarsi un multiplo bifattoriale non primo. Se nel primo caso il multiplo 91 può avere una sola coppia di fattori, cioè 7 e 13; nel secondo caso, il multiplo 12 può avere due coppie di fattori, ossia 3 e 4, 2 e 6.

g) I numeri primi terminano sempre con le cifre 1, 3, 7 e 9. Ora vediamo come si ottengono i numeri primi terminanti con tali cifre.
1)I multipli del 6 ottenuti con i numeri terminanti con 2 e con 7 possono diventare numeri primi, sottraendo ad essi una unità. Tali numeri primi terminano tutti con la cifra 1. Esempi:

6 x 32 = 192 – 1 = 191; 6 x 47 = 282 – 1 = 281 (191 e 281 sono numeri primi).

Anche i multipli del 6 ottenuti con un multiplo del 5 e aumentati di una unità danno luogo a numeri primi terminanti con 1. Esempi:

6 x 5 = 30 + 1 = 31 / 6 x 30 = 180 + 1 = 181 (31 e 181 sono numeri primi)

Comunque, per avere i numeri primi in ordine crescente, bisogna procedere alternativamente prima con il 2, poi con il 5 e infine con il 7.

2 x 6 = 12 – 1 = 11 / 5 x 6 = 30 + 1 = 31 / 7x6=42-1=41 (Infatti, i numeri 11, 31 e 41 sono tre numeri primi in ordine crescente).

2) I multipli del 6 ottenuti con i numeri terminanti con 4 e con 9 possono diventare numeri primi, sottraendo ad essi l'unità. I numeri primi ottenuti con tale criterio terminano tutti con la cifra 3. Esempi:

6 x 14 = 84 – 1 = 83 / 6 x 29 = 174 – 1 = 173

Anche i multipli del 6 ottenuti con i numeri terminanti con 2 e con 7 possono diventare numeri primi, aggiungendo ad essi l'unità. Anch'essi terminano tutti con la cifra 3. Esempi:

12 x 6 = 72 + 1 = 73 / 17 x 6 = 102 + 1 = 103 (73 e 103 sono numeri primi)

3) I multipli del 6 ottenuti con i numeri terminanti con 1 e con 6 possono diventare numeri primi, aggiungendo ad essi l'unità. Tali numeri primi terminano con la cifra 7. Esempi:

6 x 6 = 36 + 1 = 37 / 6 x 11 = 66 + 1 = 67 (37 e 67 sono numeri primi)

Anche i multipli del 6 ottenuti con numeri terminanti con 3 e con 8 possono diventare numeri primi, sottraendo ad essi l'unità. Anch'essi terminano con la cifra 7. Esempi:

6 x 23 = 138 – 1 = 137; 6 x 58 = 348 – 1=347 (Anche i numeri primi ottenuti con tale criterio terminano tutti con la cifra 7)

4) I multipli del 6 ottenuti con i numeri terminanti con 3 e con 8 possono diventare numeri primi, aggiungendo ad essi l'unità. I numeri primi ottenuti con tale criterio terminano tutti con la cifra 9. Esempi:

6 x 13 = 78 + 1 = 79 / 6 x 38 = 228 + 1 = 229 (79 e 229 sono numeri primi)

Anche i multipli del 6 ottenuti con i multipli del 5, diminuiti di una unità, possono diventare numeri primi. Anch'essi terminano tutti con la cifra 9. Esempi:
5 x 6 = 30 – 1 = 29; 30 x 6 = 180 – 1 = 179 (29 e 179 sono numeri primi)

5) Un altro modo di ottenere i numeri primi, ma questa volta ricorrendo al prodotto di 3 per ogni numero pari, è quello che ci propone la tabella sottostante. In essa, tra parentesi e in grassetto, vengono riportati i numeri primi ottenuti da ogni multiplo di 3 per i vari numeri pari, dopo aver tolto e aggiunto a ciascuno l'unità. Inoltre, se il 3 è in grassetto, risulta numero primo il risultato della sottrazione; se invece è è in grassetto il numero pari, risulta numero primo il risultato dell'addizione. Quando il 3 e il numero pari sono entrambi in grassetto, risultano numeri primi entrambi i risultati; se invece né l'uno né l'altro sono in grassetto, essi non risultano numeri primi. Comunque, sarà la tabella a chiarire meglio quanto è stato spiegato in questo paragrafo.

Numeri Primi ottenuti con i Multipli del 3
3 X 2=6 (5-7)
3 X 4=12 (11-13)
3 X 6=18 (17-19)
3 X 8=24 (23-25)
3 X 10=30 (29-31)
3 X 12=36 (35-37)
3 X 14=42 (41-43)
3 X 16=48 (47-49)
3 X 18=54 (53-55)
3 X 20=60 (59-61)
3 X 22=66 (65-67)
3 X 24=72 (71-73)
3 X 26=78 (77-79)
3 X 28=84 (83-85)
3 X 30=90 (89-91)
3 X 32=96 (95-97)
3 X 34=102 (101-103)
3 X 36=108 (107-109)
3 X 38=114 (113-115)
3 X 40=120 (119-121)
3 X 42=126 (125-127)
3 X 44=132 (131-133)
3 X 46=138 (137-139)
3 X 48=144 (143-145)
3 X 50=150 (149-151)
3 X 52=156 (155-157)
3 X 54=162 (161-163)
3 X 56=168 (167-169)
3 X 58=174 (173-175)
3 X 60=180 (179-181)
3 X 62=186 (185-187)
3 X 64=192 (191-193)
3 X 66=198 (197-199)
3 X 68=204 (203-205)
3 X 70=210 (209-211)
3 X 72=216 (215-217)
3 X 74=222 (221-223)
3 X 76=228 (227-229)
3 X 78=234 (233-235)
3 X 80=240 (239-241)
3 X 82=246 (245-247)
3 X 84=252 (251-253)
3 X 86=258 (257-259)
3 X 88=264 (263-265)
3 X 90=270 (269-271)
3 X 92=276 (275-277)
3 X 94=282 (281-283)
3 X 96=288 (287-289)
3 X 98=294 (293-295)
3 X 100=300 (299-301)
3 X 102=306 (305-307)
3 X 104=312 (311-313)
3 X 106=318 (317-319)
3 X 108=324 (323-325)
3 X 110=330 (329-331)
3 X 112=336 (335-337)
3 X 114=342 (341-343)
3 X 116=348 (347-349)
3 X 118=354 (353-355)
3 X 120=360 (359-361)
3 X 122=366 (365-367)
3 X 124=372 (371-373)
3 X 126=378 (377-379)
3 X 128=384 (383-385)
3 X 130=390 (389-391)
3 X 132=396 (395-397)
3 X 134=402 (401-403)
3 X 136=408 (407-409)
3 X 138=414 (413-415)
3 X 140=420 (419-421)
3 X 142=426 (425-427)
3 X 144=432 (431-433)
3 X 146=438 (437-439)
3 X 148=444 (443-445)
3 X 150=450 (449-451)
3 X 152=456 (455-457)
3 X 154=462 (461-463)
3 X 156=468 (467-469)
3 X 158=474 (473-475)
3 X 160=480 (479-481)
3 X 162=486 (485-487)
3 X 164=492 (491-493)
3 X 166=498 (497-499)
3 X 168=504 (503-505)
3 X 170=510 (509-511)
3 X 172=516 (515-517)
3 X 174=522 (521-523)
3 X 176=528 (527-529)
3 X 178=534 (533-535)
3 X 180=540 (539-541)
3 X 182=546 (545-547)
3 X 184=552 (551-553)
3 X 186=558 (557-559)
3 X 188=564 (563-565)
3 X 190=570 (569-571)
3 X 192=576 (575-577)
3 X 194=582 (581-583)
3 X 196=588 (587-589)
3 X 198=594 (593-595)
3 X 200=600 (599-601)
3 X 202=606 (605-607)
3 X 204=612 (611-613)
3 X 206=618 (617-619)
3 X 208=624 (623-625)
3 X 210=630 (629-631)
3 X 212=636 (635-637)
3 X 214=642 (641-643)
3 X 216=648 (647-649)
3 X 218=654 (653-655)
3 X 220=660 (659-661)
3 X 222=666 (665-667
3 X 224=672 (671-673)
3 X 226=678 (677-679)
3 X 228=684 (683-685)
3 X 230=690 (689-691)
3 X 232=696 (695-697)
3 X 234=702 (701-703)
3 X 236=708 (707-709)
3 X 238=714 (713-715)
3 X 240=720 (719-721)
3 X 242=726 (725-727)
3 X 244=732 (731-733)
3 X 246=738 (737-739)
3 X 248=744 (743-745)
3 X 250=750 (749-751)
3 X 252=756 (755-757)
3 X 254=762 (761-763)
3 X 256=768 (767-769)
3 X 258=774 (773-775)
3 X 260=780 (779-781)
3 X 262=786 (785-787)
3 X 264=792 (791-793)
3 X 266=798 (797-799)
3 X 268=804 (803-805)
3 X 270=810 (809-811)
3 X 272=816 (815-817)
3 X 274=822 (821-823)
3 X 276=828 (827-829)
3 X 278=834 (833-835)
3 X 280=840 (839-841)
3 X 282=846 (845-847)
3 X 284=852 (851-853)
3 X 286=858 (857-859)
3 X 288=864 (863-865)
3 X 290=870 (869-871)
3 X 292=876 (875-877)
3 X 294=882 (881-883)
3 X 296=888 (887-889)
3 X 298=894 (893-895)
3 X 300=900 (899-901)
3 X 302=906 (905-907)
3 X 304=912 (911-913)
3 X 306=918 (917-919)
3 X 308=924 (923-925)
3 X 310=930 (929-931)
3 X 312=936 (935-937)
3 X 314=942 (941-943)
3 X 316=948 (947-949)
3 X 318=954 (953-955)
3 X 320=960 (959-961)
3 X 322=966 (965-967)
3 X 324=972 (971-973)
3 X 326=978 (977-979)
3 X 328=984 (983-985)
3 X 330=990 (989-991)
3 X 332=996 (995-997)
3 X 334=1002 (1001-1003)
3 X 336=1008 (1007-1009)
3 X 338=1014 (1013-1015)
3 X 340=1020 (1019-1021)
3 X 342=1026 (1025-1027)
3 X 344=1032 (1031-1033)
3 X 346=1038 (1037-1039)
3 X 348=1044 (1043-1045)
3 X 350=1050 (1049-1051)
3 X 352=1056 (1055-1057)
3 X 354=1062 (1061-1063)
3 X 356=1068 (1067-1069)
3 X 358=1074 (1073-1075)
3 X 360=1080 (1079-1081)
3 X 362=1086 (1085-1087)
3 X 364=1092 (1091-1093)
3 X 366=1098 (1097-1099)
3 X 368=1104 (1103-1105)
3 X 370=1110 (1109-1111)
3 X 372=1116 (1115-1117)
3 X 374=1122 (1121-1123)
3 X 376=1128 (1127-1129)
3 X 378=1134 (1133-1135)
3 X 380=1140 (1139-1141)
3 X 382=1146 (1145-1147)
3 X 384=1152 (1151-1153)
3 X 386=1158 (1157-1159)
3 X 388=1164 (1163-1165)
3 X 390=1170 (1169-1171)
3 X 392=1176 (1175-1177)
3 X 394=1182 (1181-1183)
3 X 396=1188 (1187-1189)
3 X 398=1194 (1193-1195)
3 X 400=1200 (1199-1201)
3 X 402=1206 (1205-1207)
3 X 404=1212 (1211-1213)
3 X 406=1218 (1217-1219)
3 X 408=1224 (1223-1225)
3 X 410=1230 (1229-1231)
3 X 412=1236 (1235-1237)
3 X 414=1242 (1241-1243)
3 X 416=1248 (1247-1249)
3 X 418=1254 (1253-1255)
3 X 420=1260 (1259-1261)
3 X 422=1266 (1265-1267)
3 X 424=1272 (1271-1273)
3 X 426=1278 (1277-1279)
3 X 428=1284 (1283-1285)
3 X 430=1290 (1289-1291)
3 X 432=1296 (1295-1297)
3 X 434=1302 (1301-1303)
3 X 436=1308 (1307-1309)
3 X 438=1314 (1313-1315)
3 X 440=1320 (1319-1321)
3 X 442=1326 (1325-1327)
3 X 444=1332 (1331-1333)
3 X 446=1338 (1337-1339)
3 X 448=1344 (1343-1345)
3 X 450=1350 (1349-1351)
3 X 452=1356 (1355-1357)
3 X 454=1362 (1361-1363)
3 X 456=1368 (1367-1369)
3 X 458=1374 (1373-1375)
3 X 460=1380 (1379-1381)
3 X 462=1386 (1385-1387)
3 X 464=1392 (1391-1393)
3 X 466=1398 (1397-1399)
3 X 468=1404 (1403-1405)
3 X 470=1410 (1409-1411)
3 X 472=1416 (1415-1417)
3 X 474=1422 (1421-1423)
3 X 476=1428 (1427-1429)
3 X 478=1434 (1433-1435)
3 X 480=1440 (1439-1441)
3 X 482=1446 (1445-1447)
3 X 484=1452 (1451-1453)
3 X 486=1458 (1457-1459)
3 X 488=1464 (1463-1465)
3 X 490=1470 (1469-1471)
3 X 492=1476 (1475-1477)
3 X 494=1482 (1481-1483)
3 X 496=1488 (1487-1489)
3 X 498=1494 (1493-1495)
3 X 500=1500 (1499-1501)

Nella tabella tutti i risultati, che non sono in grassetto e quindi non sono numeri primi, sono tutti multipli dei vari numeri primi moltiplicati per i numeri primi più grandi, a cominciare dai loro quadrati. Esempio:
Se prendiamo il numero primo 7, così come presentata la tabella, oltre ai multipli del 5, troveremo anche i multipli del 7 che è stato moltiplicato per sé stesso e per gli altri numeri primi più grandi, a cominciare da 11, e continuando poi con 13, 17, 19, ecc…, come sotto riportato.
7 X 7=49; 7 X 11=77; 7 X 13=91; 7 X 17=119; 7 X 19=133; ecc…