In un triangolo rettangolo, la differenza dei quadrati delle  proiezioni dei cateti sull'ipotenusa equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la somma e la differenza dei cateti.

CH² AH² = (BC + AB) (BC - AB)

Per cui le formule inverse risultano:

BC + AB = (CH² AH²) : (BC AB)

BC - AB = (CH² AH²) : (BC + AB)

CH² = (BC + AB) (BC - AB) + AH²

AH² = CH² - (BC + AB) (BC - AB)

PROBLEMI

1) In un triangolo rettangolo, i cateti misurano 40 cm e 30 cm. Calcolare la differenza dei quadrati delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

CH² AH² = (BC+AB) (BC-AB) = (40+30) (40 30) = 70 10 = 700 cm²

2) In un triangolo rettangolo, le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa misura 32 cm e 18 cm, mentre la somma dei cateti misura 70 cm. Calcolare i due cateti.

BC-AB =(CH² AH²) : (BC+AB)=(32² 18²) : (40+30)=(1024 324) : 70=700 : 70=10 cm

BC= (70 + 10) : 2 = 80 : 2 = 40 cm

AB = (70 10) : 2 = 60 : 2 = 30 cm

3) In un triangolo rettangolo, le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa misura 32 cm e 18 cm, mentre la differenza dei cateti misura 10 cm. Calcolare i due cateti.

BC + AB = (CH² AH²) : (BC - AB) = (32² 18²) : (40-30) = (1024 324) : 10 = 700 : 10 = 70 cm

BC= (70 + 10) : 2 = 80 : 2 = 40

AB = (70 10) : 2 = 60 : 2 = 30

4) In un triangolo rettangolo, i cateti misurano 20 cm e 15 cm, mentre la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa misura 9 cm. Calcolare la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa.

CH²=(BC+AB) (BC-AB)+AH²=(20+15)

(20-15) + 9² = 35 5 + 81 = 175+81 = 256, la cui radice quadrata è 16 cm;

5) In un triangolo rettangolo, i cateti misurano 20 cm e 15 cm, mentre la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa misura 16 cm. Calcolare la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa.