Nel triangolo rettangolo, alcuni problemi possono essere risolti, ricorrendo a teoremi geometrici ed evitando sistemi di equazione di secondo grado.
Il primo teorema è il seguente:
Il quadrato della somma dei cateti (a+b) più quello della loro differenza (a-b) danno il doppio quadrato dell'ipotenusa 2c .
La sua applicazione si ha nei seguenti tre problemi:
1) In un triangolo rettangolo, l'ipotenusa misura 20 e la somma dei cateti misura 28 . Calcolare i cateti.
Sommando poi la somma dei cateti e la loro differenza e dividendo per 2 il risultato, otteniamo il cateto maggiore.
a
= (28 + 4) : 2 = 32 : 2 = 16
Sottraendo poi la differenza dei cateti alla loro somma e dividendo per 2 il risultato, otteniamo il cateto minore.
b
= (28 - 4) : 2 = 24 : 2 = 12
2) In un triangolo rettangolo, l'ipotenusa misura 17
e la differenza dei cateti misura 7
. Calcolare i cateti.
Sommando poi la somma dei cateti e la loro differenza e dividendo per 2 il risultato, otteniamo il cateto maggiore.
a = (23 + 7) : 2 = 30 : 2 = 15
Sottraendo poi la differenza dei cateti alla loro somma e dividendo per 2 il risultato, otteniamo il cateto minore.
b
= (23 - 7) : 2 = 16 : 2 = 8
3) In un triangolo rettangolo, la somma dei cateti misura 31
e la differenza dei
cateti misura 17
. Calcolare l'ipotenusa.
Il secondo teorema è il seguente:
Il doppio prodotto dei cateti 2ab più il quadrato della loro differenza (a-b) danno il quadrato dell'ipotenusa.
La sua applicazione si ha nei seguenti tre problemi:
1) In un triangolo rettangolo, l'ipotenusa misura 5 cm e l'area misura 6 cm2. Calcolare i
due cateti.
Applicando il
teorema 1, avremo la somma dei cateti:
Conoscendosi la loro somma e la loro differenza, come già visto, i cateti saranno:
a
= (7 + 1) : 2 = 8 : 2 = 4
b
= (7 - 1) : 2 = 6 : 2 = 3
2) In un triangolo rettangolo, l'ipotenusa misura 10; mentre la differenza dei cateti misura 2. Calcolare l'area.
A
= (10² - 2²) : 4 = (100 - 4) : 4 = 96 : 4 = 242
3) In un triangolo rettangolo, l'area misura 302; mentre la differenza dei cateti
misura 7. Calcolare l'ipotenusa c.
