GEOMETRIA

2) RISOLUZIONE ALGEBRICA DEL TEOREMA DI PITAGORA

 

1) In algebra si è studiato il seguente prodotto notevole:

(a-b)2 = a2 + b2 - 2ab; da cui:>

2ab + (a-b)2 = a2 + b2

dove:

a e b = cateto maggiore e cateto minore;

2ab= doppio rettangolo costruito sui cateti o doppio prodotto dei cateti;

ab= rettangolo costruito sui cateti o prodotto dei cateti;

(a-b)2 = quadrato della differenza dei cateti;

a2+b2 = quadrato dell'ipotenusa, in quanto somma dei quadrati dei due cateti;

ma dalla seconda uguaglianza sopra riportata, si deduce che il quadrato dell'ipotenusa è dato anche da:

2ab + (a-b)2


Per cui l'ipotenusa è anche uguale al doppio prodotto dei cateti più il quadrato della loro differenza.

Comunque, geometricamente parlando, possiamo dire che il quadrato dell'ipotenusa è equivalente al doppio rettangolo costruito sui cateti più il quadrato costruito sulla differenza degli stessi.

Così, indicando con a, b, c rispettivamente il cateto maggiore, il cateto minore e l'ipotenusa, avremo:

 

 

Ma abbiamo anche:

 

Se abbiamo a=12 e b=5, c sarà uguale a:

 

 



2) In algebra abbiamo ancora il seguente prodotto notevole:

 

a2-b2 = (a + b) (a b);

 

dove:

 

a e b = cateto maggiore e cateto minore;

 

(a + b) = somma dei cateti;

 

(a b) = differenza dei cateti;

 

a2+b2 = quadrato dell'ipotenusa

 

Per il teorema di Pitagora, il quadrato di un cateto è uguale al quadrato dell'ipotenusa meno il quadrato dell'altro cateto.

 

Indicando con c l'ipotenusa, abbiamo:

 

a2 = c2 b2;   b2 = c2 a2

 

Così, indicando con a, b, c rispettivamente il cateto maggiore, il cateto minore e l'ipotenusa e applicando il prodotto notevole sopra riportato, avremo:

a2 = (c + b) (c b); 

 

b2 = (c + a) (c a);

 

Per cui il quadrato di un cateto è uguale al prodotto tra la somma dell'ipotenusa più l'altro cateto e la loro differenza.

 


In un triangolo rettangolo, se l'ipotenusa misura 25 cm e il cateto minore misura 7 cm, il cateto maggiore sarà uguale a:

 


In un triangolo rettangolo, se l'ipotenusa misura 25 cm e il cateto maggiore misura 7 cm, il cateto minore sarà uguale a: