1) Nuovi teoremi sul triangolo rettangolo

Teorema 1

Il rettangolo costruito sui cateti AB e BC, ossia ABCD, è equivalente al rettangolo costruito sulla somma dei cateti BF e il lato del quadrato BH, ossia BFGH. Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello minore, con l il lato e con d la diagonale del quadrato o bisettrice del triangolo rettangolo, avremo:

ABCD ~ BFGH; da cui:

PROBLEMI

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti BC (a) e BA (b) misurano rispettivamente 28 cm e 21 cm. Calcolare il lato del quadrato inscritto l e la

diagonale d.

Nel triangolo rettangolo ABC, l'area misura 294 cm² e il lato del quadrato misura 12 cm. Calcolare la somma dei cateti.

Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm e il lato del quadrato misura 12 cm. Calcolare l'area.

cm²

Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm e l'area misura 294 cm². Calcolare il lato del quadrato e la sua diagonale.

Il rettangolo costruito sulle differenze tra ogni cateto e il lato del quadrato, ossia LRDP, è equivalente al quadrato inscritto nel triangolo, ossia BHLM. Ciò vuol dire che il lato del quadrato è medio proporzionale tra tali differenze AH e CM. Per cui, indicandole con x (la minore) e con y (la maggiore), avremo:

LRDP ~ BHLM; da cui:

PROBLEMI

Nel triangolo rettangolo ABC, x e y misurano rispettivamente 9 cm e 16 cm. Calcolare il lato del quadrato inscritto.

Nel triangolo rettangolo ABC, il lato del quadrato misura 12 cm e y misura 16 cm. Calcolare la misura di x.

Nel triangolo rettangolo ABC, il lato del quadrato misura 12 cm e x misura 9 cm. Calcolare la misura di y.

Teorema 3

Il rettangolo costruito sulla somma dei cateti (BC+ BA) e la somma delle loro differenze (HA+MC) è equivalente al quadrato costruito sull'ipotenusa AC. Ciò vuol dire che l'ipotenusa è media proporzionale tra tali somme. Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello minore, con c l'ipotenusa, con x e y rispettivamente la differenza minore e quella maggiore, avremo:

BC+BA) (AH+CM) ~ AC AC; da cui:

PROBLEMI

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti misurano 28 cm e 21 cm, mentre y e x misurano rispettivamente 16 cm e 9 cm. Calcolare l'ipotenusa.

Nel triangolo ABC, l'ipotenusa misura cm 35, mentre la somma di y + x misura 25 cm. Calcolare la somma dei cateti.

Nel triangolo ABC, l'ipotenusa misura cm 35, mentre la somma dei cateti misura 49 cm. Calcolare la somma di y + x.

Teorema 4

Il quadrato di ciascun cateto è equivalente al rettangolo costruito sulla somma dei cateti BC+BA e la relativa differenza AH o CM. Per cui, indicando con a e b rispettivamente il cateto maggiore e quello minore, con c l'ipotenusa, con x e y la differenza minore e quella maggiore, avremo:

(BC+BA) MC ~ BC ; da cui:

PROBLEMA

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti a e b misurano rispettivamente 28 cm e 21 cm. Calcolare le misure di x e di y.

Teorema 5

Ogni cateto è medio proporzionale tra la somma dei cateti e la relativa differenza. Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello minore, con x e y la differenza minore e quella maggiore, avremo:

(BC+BA) HA ~ BA ; da cui:

PROBLEMA

Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm, mentre y e x misurano rispettivamente 16 cm e 9 cm. Calcolare i cateti.

Teorema 6

Il rettangolo costruito sul cateto maggiore, ossia BC, e l'ipotenusa AC è equivalente al rettangolo costruito sulla somma dei cateti BC+BA e la parte minore dell'ipotenusa  che viene divisa dalla bisettrice, ossia LA. Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello minore, con c l'ipotenusa e con z il segmento maggiore dell'ipotenusa, avremo:

BA AC ~ (BC+BA) LA; da cui:

PROBLEMI

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti a e b misurano rispettivamente 28 cm e 21 cm, mentre l'ipotenusa misura 35 cm. Calcolare la misura di v.

Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm, l'ipotenusa misura 35 cm, mentre v misura 15 cm. Calcolare il cateto minore.

Teorema 7

Il rettangolo costruito sul cateto maggiore, ossia BC, e l'ipotenusa AC è equivalente al rettangolo costruito sulla somma dei cateti BC+BA e la parte maggiore dell'ipotenusa  che viene divisa dalla bisettrice, ossia LC. Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello minore, con c l'ipotenusa e con z il segmento maggiore, avremo:

BC AC ~ (BC+BA) LC; da cui:

PROBLEMI

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti a e b misurano rispettivamente 28 cm e 21 cm, mentre l'ipotenusa misura 35 cm. Calcolare la misura di z.

 

Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm, l'ipotenusa misura 35 cm, mentre z misura 20 cm. Calcolare il cateto maggiore.

Teorema 8

Il rettangolo costruito sul cateto minore BA e il lato del quadrato BM, ossia ABMR, è equivalente al rettangolo costruito sul cateto maggiore BC e la differenza tra il cateto minore e il lato del quadrato AH, ossia AHPD. Perciò avremo:

ABMR = AHPD; da cui:

PROBLEMI

Nel triangolo rettangolo ABC, il cateto minore misura 21 cm e x misura 9 cm. Calcolare il cateto maggiore.

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti misurano 28 cm e 21 cm, mentre il lato del quadrato inscritto misura 12 cm. Calcolare la misura di x.

Teorema 9

Il rettangolo costruito sul cateto maggiore BC e il lato del quadrato BH, ossia HBCP, è equivalente al rettangolo costruito sul cateto minore AB e la differenza tra il cateto maggiore BC e il lato del quadrato BM, ossia CDRM. Perciò avremo:

HBCP = CDRM ; da cui:

PROBLEMI

Nel triangolo rettangolo ABC, il cateto maggiore misura 28 cm e y misura 16 cm. Calcolare il cateto minore.

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti misurano 28 cm e 21 cm, mentre il lato del quadrato inscritto misura 12 cm. Calcolare la misura di y.